Anneau

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Sos math sup, mais vraiment cette arithmétique, aidez moi c trés important...? 1/ soient a un entier naturel non nul et p un nombre premier posititif tel que p ne divise pas a.
1.a/ montrer que Z/pZ = { (classe de) ka, k appartient a {0,1,...,p-1}}
1.b/ en déduire que a^(p-1)! congru à (p-1)! modulo p
puis que a^(p-1) congru à 1modulo p
2/ soient p et q deux nombres premiers positifs distincts, on pose n=(p-1)(q-1)
2.a/ soit c un entier naturel non nul premier avec n, il existe (u,v)appartenant à Z² tel que uc+nv=1
justifier l'esxistance de (k,d) appartenant à ZxN tel que u=kn+d avec 0<d<n
2.b/ monter que cd est congru à 1 modulo pq
2.c/ monter que pour tout entier naturel a a^sd est congru à a modulo pq
3/ application
en prenant p=5 q=7 et c=23 monter que l'application
f: Z/35Z--> Z/35Z est bijective et determiner f^(-1)

rapidement, pour 1.a on se place dans Z/pZ et on montre que les ka sont tous distincts, ainsi il y en aura exactement p et l'ensemble donnera Z/pZ. Soient k et k' distincts. ka-k'a=(k-k')a qui est non nul (dans Z/pZ) vu que dans le cas contraire on aurait p|(k-k')a et p premier avec a donc (lemme de Gauss) p|k-k' ce qui est absurde car k-k' est un entier non nul de valeur absolue strictement inférieur à p.
1.b (p-1)! est le produit de tous les éléments non nuls de Z/pZ.D'après 1.a c'est donc aussi le produit de tous les éléments ka, ce qui donne immédiatement l'égalité demandée.
2.a Z étant un anneau euclidien la réponse semble triviale... Le théorème de Bezout donnant en fait une condition nécéssaire et suffisante, on peut ici l'utiliser pour montrer que u et n sont premiers entre eux donc que d ne peut être nul (il faut remarquer aussi que n vaut au moins 2 et que u est nécessairement non nul).
2.b On a (kn+d)c+nv=1 soit cd=1-(kc+v)n donc cd congru à 1 mod n (et non pas modulo pq)
2.c D'après 2.b on a a^cd=a^(1+Nn)=a(a^n)^N.
D'après la formule d'Euler
a^n=1 (mod pq) donc a^cd=a(1^N)=a (mod pq)
3/ quelle application?

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Anneau sur Cours de Maths

Thesaurus : anneau associatif

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