Sinus

Consultez aussi les sites de reférences :
Les poles et le residu d'une fonction f(z)=pi/sin(pi*z)? pour moi les poles de la fontion sont z=2k k appartient a Z

mais pour les residus je ne voie pas comment je peux calculer j'y arrive pas

Pour les pôles c'est clairement z=k avec k entier, il s'agit d'annuler le sinus, et je te rappelle que le sinus d'un multiple entier de pi vaut 0, 2*pi est trop restrictif.

Pour le calcul de résidus je préconise quand on débute de faire un développement en séries de Laurent et de chercher le coefficient d'ordre -1 dans le développement (c'est lui le résidu). Tu peux faire un changement de variable et procéder comme pour un DL, ça doit pouvoir se faire.

Cas récurrent en maths : a est un pôle simple et f(z)=P(z)/Q(z) avec P holomorphe au voisinage de a et P(a) non nul, Q singulier en a et Q'(a) non nul (zéro simple), alors tu peux chercher la limite quand z->a de P(z)/Q'(z) avec Q' dérivée première de Q. C'est le résidu de f en a !

On peut tout à fait appliquer cette méthode ici. On sait que k entier est un pôle d'ordre 1 car la dérivée première de sin(pi*z) en k est non nulle (c'est un cosinus).

f(z)=P(z)/Q(z) avec P(z)=pi holomorphe car constante, et Q(z)=sin(pi*z) qui a des zéros simples pour z=k.
Il suffit de calculer la limite lim(z->a) P(z)/Q'(z) avec Q' la dérivée première de Q. Je ne te fais pas l'offense de te donner la réponse !


Juste pour t'aider à l'avenir (inutile dans le cas présent), si tu as une fonction qui a disons un pôle d'ordre m en a, c'est à dire qu'au dénominateur elle se traîne un 1/(z-a)^m alors le résidu vaut :
Res(f,a)=lim(z->a) 1/(m-1)! * d^(m-1)/dz^(m-1) [(z-a)^m*f(z)]
avec d^(m-1)/dz^(m-1) la dérivée (m-1)-ième.
exemple : si tu as un pôle simple en a tu cherches la limite de
(z-a)*f(z) quand z->a (très fréquent, à retenir).
En appliquant ça à une fonction f telle que f(z)=P(z)/Q(z) on démontre la justesse de la méthode donnée plus haut.
Cette dernière méthode adaptable à l'ordre m est bien pratique quand tu as fait apparaître un (z-a)^m factorisé au dénominateur !

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un petit cours sur le cosinus - quatrième

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